В 1980 году окончил Тамышскую среднюю школу и поступил во Фрунзенский политехнический институт на специальность «инженер-строитель».

В 1982 году перевёлся и в 1985 году окончил Московский автомобильно-дорожный институт.

С 1985 по 1986 годы работал по распределению в Управлении капитального строительства Угранского леспромхоза Смоленской области.

С 1987 по 1989 годы работал инструктором, а затем заведующим отделом Очамчирского райкома комсомола.

В 1991 году окончил Высшие курсы КГБ СССР.

С 1991 по 1992 годы работал в КГБ Абхазии.

В период Отечественной войны народа Абхазии 1992-1993 гг. служил в органах госбезопасности Абхазии в городе Гудаута.

В декабре 1999 года уволен в запас из Службы государственной безопасности Республики Абхазия.

В 1999 году окончил Академию народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации.

С декабря 1999 года по декабрь 2008 года занимался предпринимательской деятельностью в Российской Федерации.

В январе 2009 года назначен советником по экономическим вопросам Посольства Абхазии в России.

В феврале 2010 года Указом Президента Республики Абхазия С.В. Багапша назначен Председателем Службы государственной безопасности Республики Абхазия.

В мае 2014 года Указом Президента Республики Абхазия А.З. Анкваб присвоено звание «генерал-майор».

В июне 2014 года Указом Президента Российской Федерации В.В. Путина за оказание содействия в обеспечении безопасности при подготовке и проведении зимних Олимпийских игр в г. Сочи награжден орденом Дружбы.

В августе 2014 года был кандидатом в Президенты Республики Абхазия на внеочередных выборах, получив более 35% голосов избирателей.

С апреля 2015 года - президент Фонда социально-экономических и политических исследований "АПРА".

С июля 2015 года - сопредседатель Блока оппозиционных сил Республики Абхазия.

В марте 2017 года избран депутатом Народного Собрания — Парламента Республики Абхазия VI созыва (2017-2022).

22 марта 2020 года избран Президентом Республики Абхазия, набрав 56,5 %.

23 апреля 2020 года вступил в должность Президента Республики Абхазия.

Женат, отец двоих детей.